TRIGONOMETRIE

1. Définition des fonctions trigonométriques

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1.2 A partir du cercle unité

- Sin(α) est égal à la projection orthogonale du rayon sur l'axe y.
- Cos(α) est égal à la projection orthogonale du rayon sur l'axe x.
- Tan(α) est déterminé par l'intersection entre le prolongement du rayon et la droite parallèle à l'axe y et coupe l'axe x au point (1,0).

- Cotan(α) est déterminé par l'intersection entre le prolongement du rayon et la droite parallèle à l'axe x et coupe l'axe y au point (0,1).

En regardant le dessin au dessus, on peut en déduire les relations entre les angles :

 sin(-α) = -sin(α) cos(-α) = cos(α) tan(-α) = -tan(α)
 sin(π + α) = -sin(α) cos(π + α) = -cos(α) tan(π + α) = tan(α)
 sin(π - α) = sin(α) cos(π - α) = -cos(α) tan(π - α) = -tan(α)
 sin(π/2 - α) = cos(α) cos(π/2 - α) = sin(α)
 etc...

- Quand l'angle α tend vers 0, tan(α) tend vers sin(α) et les deux tendent vers α.

- Quand l'angle α tend vers 90°, tan(α) tend vers l'infini.

2. Les relations

Relation entre les carrés :

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Formules d'addition :

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Formules de duplication :

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Les expressions de cosinus, sinus et tangent en fonction de la tangente de l'angle moitié :

Formules de linéarisation :

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Remarque :

Il faut simplement mémoriser les trois premières formules pour en déduire toutes les autres.

Exemples

1/ cos(2α) = cos(α + α) = cos(α).cos(α) - sin(α).sin(α) = cos2(α) - sin2(α)
= cos2(α) - (1-cos2(α)) = 2cos2(α) - 1
On en déduit cos2(α) = 1/2 (cos(2α) + 1)

2/ cos(a - b) = cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sin(a)sin(-b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)

3/ On a :

cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a).sin(b)
cos(a - b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)

En sommant les deux équations, on obtient donc cos(a).cos(b) = 1/2 [cos(a+b) + cos(a - b)]

On pose x = a + b, y = a - b. Donc a = (x+y)/2 et b = (x-y)/2

On en déduit la relation : cos(x) + cos(y) = 2. cos(( x+y)/2).cos((x-y)/2)

3. Relations entre les angles et les côtés dans un triangle

3.1 Lois des cosinus

c^2= a^2+b^2-2ab.cos⁡C ̂

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3.2. Lois des sinus

a/sin⁡A ̂ = b/sin⁡B ̂ = c/sin⁡C ̂

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